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Provar que 2^n-1 é múltiplo de 3 para qualquer n par natural

postado em 6 de mai de 2012 19:49 por Erisvaldo Ferreira Silva   [ 6 de mai de 2012 19:50 atualizado‎(s)‎ ]

PROBLEMA:

Provar que 2^n-1 é múltiplo de 3 para qualquer n par natural.

RESOLUÇÃO:

Seja 2^n-1 múltiplo de 3 para todo n par.
E seja n = 2k para todo k natural.
Então 2^(2k)-1 é também múltiplo de 3.

PROPOSIÇÃO 1:

Para o primeiro número natural k = 0 temos que
2^(2k)-1 = 2^(2.0)-1 = 2^0-1 = 1-1 = 0 (que é múltiplo de 3).
Assim, fica provado que para o primeiro número natural k = 0
é verdade que 2^n-1 é múltiplo de 3.

Suponha que:
Se, para um número natural qualquer, é verdade que: 2^(2p)-1 é múltiplo de 3,
então será verdade para qualquer sucessor p+1 de p,
ou seja, será verdade que 2^(2(p+1))-1 é múltiplo de 3.

Vamos então desenvolver 2^(2(p+1)) - 1
2^(2(p+1)) - 1 = 2^(2p+2) - 1 = 2^(2p) * 2^2 - 1 = 4 * 2^(2p ) - 1

Somando-se - 3 + 3 = 0 à expressão anterior, teremos:
4 * 2^(2p ) - 1 - 3 + 3 =  4*2^(2p) - 4 + 3 =  4*(2^2p-1) + 3

Ora, se 2^(2p)-1 é múltiplo de 3, então existe um inteiro tal que 2^(2p)-1 = 3M.
Assim: 4*(2^2p-1) + 3 = 4*3M + 3 = 3(4M+1)

3(4M+1) é múltiplo de 3.
Então é verdade que, se 2^(2p)-1 é múltiplo de 3 para um determinado número p natural,
então também será múltiplo de 3 para qualquer sucessor (p+1) desse número.

E se é verdade para o primeiro número natural 0, então será verdade para todos os seus sucessores.
Logo,  2^n-1 é múltiplo de 3 para qualquer par natural.

CQD

Erisvaldo Ferreira Silva
erisbaldo@yahoo.com.br

MODELAGEM COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA

postado em 3 de dez de 2011 11:35 por Erisvaldo Ferreira Silva

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MONTES CLAROS – UNIMONTES

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - CCET

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS

CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

QUARTO PERÍODO TURNO: NOTURNO

DISCIPLINA: TEORIA DOS NÚMEROS

PROFESSOR: FREDY


ACADÊMICOS:

CAMILA CRISTINA BARROSO RODRIGUES

ERISVALDO FERREIRA SILVA

LAURA KARINNE RODRIGUES MOREIRA

LÍCIA OLIVEIRA

LORENA RODRIGUES ARAÚJO


MODELAGEM COMO ESTRATÉGIA

DE ENSINO E APRENDIZAGEM

DA MATEMÁTICA


MOSTES CLAROS / MG – 2007




MODELAGEM COMO ESTRATÉGIA

DE ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA


CAMILA CRISTINA BARROSO RODRIGUES, ERISVALDO FERREIRA SILVA, LAURA KARINNE RODRIGUES MOREIRA, LÍCIA OLIVEIRA, LORENA RODRIGUES ARAÚJO


Modelo e Modelagem


Modelo é uma representação de alguma coisa ou de alguma situação a ser estudada. Um modelo matemático, geralmente, representa uma dinâmica ou plano de ensino no qual o principal fator é a aprendizagem ou facilitação.

Modelagem é simplesmente o processo efetuado ao se construir um modelo, ou seja, quando criamos um modelo, estamos praticando a modelagem.


Modelagem como estratégia de ensino e aprendizagem


A modelagem ajuda os alunos a despertarem interesse pelos tópicos estudados, ao mesmo tempo em que estes aprendem a arte de modelar. É através da modelagem que os alunos aprendem a criar e usar suas próprias relações.

É possível, através da modelagem, conhecer a realidade de cada aluno ou a afinidade de um grupo. Isso ajuda e facilita a escolha ou direcionamento do tema a estudado.

É feita inicialmente uma breve exposição sobre o tema a ser abordado. Em seguida, faz-se um levantamento das questões e dificuldades encontradas entre a turma. Formula-se, então, algumas questões e trabalha-se com os alunos uma melhor forma de se criar as respostas para estas. Surgindo assim o modelo para a resolução daquelas propostas apresentadas ou, até mesmo, de outras compatíveis.

A escolha do tema e a interação com o mesmo devem ter orientação (professor) e deve ser planejada de forma a ser trabalhada pelos grupos da melhor forma possível. O tema escolhido deve utilizar alguma parte do conteúdo programático (do dia, da semana).

Uma vez concluído o modelo, a validação, divulgação e um breve relatório se fazem necessário. Um modelo pode ser simples ou complexo, mas sempre favorecer a simplificação e aplicação dos fatos abordados no mesmo.


Apresentação de uma proposta de modelo para o ensino de Matemática


Nas páginas que se seguem, apresentamos uma proposta de modelo simples, de baixa complexidade. Serão trabalhadas na mesma, algumas funções da disciplina Teoria dos Números, tais como função resto, divisibilidade, a idéia de par ou ímpar, divisão inteira, indução e alguns outros tópicos da matemática muito utilizados no dia a dia como tabelas, noções de lógica, interpretação e criação de novas relações.

A proposta a que se refere as próximas páginas é sobre o conhecimento do calendário. Uma realidade de utilidade mundial e que muitos desconhecem ou ignoram. A história do calendário, a sua configuração, o porque dos nomes dos meses e da quantidade de dias de cada um, o porque dessa variação quantitativa, são alguns dos tópicos que serão abordados no modelo.

Uma proposta que pode ser aplicado desde as séries iniciais (com a definição de ano comum e ano bissexto, nomes dos meses, etc) até o ensino superior (cálculo de dias da semana, construção de relações para estudo de datas ou de intervalos entre as mesmas, etc).


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS


Foi utilizado, como referência bibliográfica, um texto passado pelo professor.




Diferença entre Número e Numeral

postado em 3 de dez de 2011 11:19 por Erisvaldo Ferreira Silva

Diferença entre Número e Numeral

Erisvaldo Ferreira Silva


Número é uma palavra ou símbolo que representa ou dá uma noção de quantidade. Alguns números podem ser divididos em quatro classes chamadas Numerais. Podemos então dizer que Numeral é um conjunto de números.

Existem numerais cardinais que são compostos por números que indicam quantidade absoluta, numerais multiplicativos que são compostos por números que indicam múltiplos, numerais fracionários que são compostos por números que indicam frações e numerais ordinais que são compostos por números que indicam ordem.


  • Tenho três maçãs. Que quantidade de maçãs eu tenho? Resposta: Três. “Três” representa o número de maçãs que eu possuo. Logo “Três” é um número e pertence à classe dos numerais cardinais, pois representa uma quantidade.


  • João tem seis laranjas, eu tenho o dobro de laranjas que João. Quantas laranjas eu tenho? Resposta: Eu tenho doze laranjas, o dobro que João. “Dobro” representa a quantidade de laranjas que tenho. Logo “Dobro” é um número e pertence à classe dos numerais multiplicativos, pois representa um múltiplo.


  • Maria tinha nove balas, ela me deu um terço delas. Quantas balas Maria me deu? Resposta: Um terço, três balas. “Terço” representa o número de balas que ganhei de Maria. Logo “terço” é um número e pertence à classe dos numerais fracionários, pois representa uma fração.


  • Pedro está em terceiro lugar em uma fila. Quantas pessoas, da primeira até Pedro, estão na fila? Resposta: Três pessoas, o primeiro e o segundo e o terceiro (Pedro). “Terceiro” representa a quantidade de pessoas que estão na fila até Pedro. Logo “Terceiro” é um número e pertence à classe dos numerais ordinais, pois representa ordem.

Ética e (Falta de) Educação

postado em 3 de dez de 2011 11:17 por Erisvaldo Ferreira Silva

Resenha do texto

Ética e (Falta de) Educação de Roberto Patrus Mundim Pena

por: Erisvaldo Ferreira Silva


A Educação é a arte de ensinar às pessoas o conhecimento necessário para sobreviver e viver em sociedade.

A Educação implica dois fatores interdependentes: a informação e a formação. A informação é o conhecimento que precisamos para viver bem com a sociedade ao qual pertencemos, mas conforme a sociedade vai se modificando precisamos atualizá-la. Para isso refletimos sobre tais mudanças. Isto é formação.

O ser humano nasce apenas com seu instinto. Mas a partir daí já começa a entrar em contato com uma sociedade criada pelos homens. Com isso ela vai aprendendo a viver como tal e, a cada dia, desde jovem a adulto, se atualizando. Esse processo só acontece devido a Educação.

Este mesmo ser humano estará à mercê de novos conceitos da sociedade. Sobre o que ético ou moral. E, dependentemente do meio onde se encontra e do grupo ao qual faz parte, através da formação, irá adquirir para si valores quanto a estes dois conceitos. Tornando-se assim um cidadão cujo comportamento seguirá ou não o padrão social.

A origem do comportamento do indivíduo está na família. E esse comportamento se repercute na escola. Dependendo do padrão familiar, o comportamento desse aluno, na escola, pode até mesmo contrariar os valores éticos e morais impostos por esta. Esse problema é causado pela constante e acelerada privatização das famílias, pelo individualismo moderno do cidadão e pela popularização do uso da tecnologia.

Diante desse fato, é necessário resgatar o papel da família quanto à construção da cidadania repensando o conceito de autoridade dos pais para com seus filhos. E é preciso que família e escola caminhem sempre juntas. É preciso conscientizar as pessoas quanto à importância da vida em sociedade mostrando os valores de da cada um e mostrar ainda que existem valores diferentes. Mostrar ainda que dependemos dos demais membros do meio ao qual pertencemos.

Mas mesmo conhecendo a sociedade em que vivemos, a falta de respeito dos filhos para com os pais e professores, a inversão da ética e da moral, a existência de valores e comportamentos contrários, e sabendo-se da difícil reversão dessa situação, ainda podemos transformar a crise em oportunidade. Para tal transformação, o primeiro passo é a conscientização.

Falta Fundamentação Didática no Ensino da Matemática

postado em 3 de dez de 2011 11:13 por Erisvaldo Ferreira Silva

Crítica acerca do texto

Falta Fundamentação Didática no Ensino da Matemática”

por: Erisvaldo Ferreira Silva


A pesquisadora argentina Dra. Patrícia Sadovsky sugere o fim do professor polivalente enquanto o mundo moderno abraça a interdisciplinaridade, defende um espaço de reflexão para os professores enquanto estes mal têm tempo para dar aulas, diz não se tratar de discussão sobre inovação, mas sabe que para alcançar as suas metas é preciso mudanças.

A Dra. Foi feliz em sua entrevista a colunista Roberta Bencini da revista Nova Escola (in: Fala, Mestre! – Jan/Fev 2007) quando expõe o seu ponto de vista, e de sua pesquisa, quanto ao ensino de Matemática na Argentina, no Brasil e no mundo. Tendo real percepção dos problemas ora enfrentados pelos alunos desta matéria.

Dra. Patrícia encara a Matemática, sob a ótica de alunos e professores e sob a ótica de sua especialidade como Doutora em Didática da Matemática, como uma matéria que não está sendo aprendida (ou ensinada) por completo nas escolas de todo o planeta. Quando afirma que as calculadoras já efetuam cálculos e que o mundo já exige mais que isso, dá a entender que a necessidade de aprendizado do “fazer cálculos” já não se faz tão necessária quanto ao aprofundamento matemático da álgebra e da geometria.

É de se esperar realmente mais que cálculos no mundo de hoje. É preciso programar e aprender a programar aulas com jogos e brincadeiras e simulações que, de acordo a própria Doutora, devem ser tidos apenas como ponta-pé inicial em uma seqüência de aprendizagem onde o restante do processo deve ser passado pelo professor através de aulas “interessantes”.

Quando ela diz que “Fundamental é ter um compromisso de aprendizagem com o aluno” deixa portas abertas a diferentes metodologias por parte do professor. Mas deixa bem claro uma linha de didática a ser seguida, caso o professor opte pela resposta da sua pesquisa.

Ora certa, ora não, o que realmente conta para o bem-estar dos alunos desta incrível disciplina, para o avanço da mesma e para uma melhor didática seria o ato de se por em prática ao menos algum destes métodos tão estudados, e que, aos montes são pesquisados, projetados e discutidos, que não passam de teoria.

ALGUMAS CONCEPÇÕES SOBRE O ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA

postado em 3 de dez de 2011 10:57 por Erisvaldo Ferreira Silva   [ 3 de dez de 2011 10:58 atualizado‎(s)‎ ]

Tópicos abordados no artigo ALGUMAS CONCEPÇÕES SOBRE O ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA de Marcelo Câmara dos Santos, Professor do Colégio de Aplicação da UFPE


  • A Concepção Baldista


    • ... “no momento de entrar em contato com um novo objeto de conhecimento matemático, a cabeça do aluno se apresenta como um balde vazio” ...

Essa concepção parte do princípio de que, todo aluno, quando em contato com a matemática, possui a cabeça vazia, pronta para ser “preenchida” pelo professor. De forma que, tudo o que o professor fala o aluno aprende, pois não há o que pensar, o que duvidar ou criticar. Nessa concepção aluno (a-luno: sem-luz) não possui sabedoria alguma para confrontar com a explanação do professor.

    • ... “se nós já conhecemos o culpado do crime, de que vale acompanhar toda a trama?” ...

É essa concepção (ou teoria) que leva os professores, autores de livros didáticos, entre outros a adotarem os chamados “exercícios de fixação”. Pois imagina-se, aqui, que quanto mais se repetir uma determinada operação, mesmo que o método seja único e que o aluno não tenha entendido a matéria, mais rápido será aprendizagem (fixação).

Aí se explanam tudo o que já está pronto, cabendo ao aluno, simplesmente, o ato de decorar (=decoreba) tudo aquilo sem saber o porquê nem o pra quê. Aprende-se uma fórmula tão simples e de forma tão simplificada que não conseguimos, ou nem mesmo temos a coragem de, imaginar de onde ela veio, como se chegou a ela, como se fazia antes do seu descobrimento, etc.


  • A Concepção da Escadinha


    • ... “se apóia na idéia de que seria possível modificar o comportamento de um indivíduo a partir de situações de estímulo e reforço de respostas positivas” ...

Com suporte no Behaviorismo, essa concepção trabalha diretamente com objetos de ensino-reforço-aprendizagem.

Assim como o Ensino é dividido em etapas, a aprendizagem nessa concepção segue uma linha de etapas denominadas objetos, ou objetivos.

Em primeiro lugar é definido o resultado que se quer alcançar, o que se pretende. Depois é aplicada ao aluno, uma gama de situações que, ao provocar a criança a mesma corresponde, dá respostas positivas. E por final, alcançado o primeiro objeto, aplica-se ao aluno uma outra gama de situações que reforçam o aprendizado do mesmo.

    • ... “o fato de sabermos girar o volante, utilizar a embreagem e passar as marchas, não garante que saibamos dirigir um automóvel”

Quando apresentados ao aluno todas aquelas situações de aprendizagem, e quando de fato o aluno passa por todas elas, até mesmo sem dificulades, imagina-se, nessa teoria, que o aluno tenha alcançado o objetivo principal.


  • A Concepção Sócio-Construtivista


    • ... “a idéia construtivista se apóia no próprio processo histórico de construção do conhecimento científico, cujos objetos foram sendo construídos como resposta a problemas específicos” ...

Essa concepção tem sido fundamentada por diversas áreas da educação. Nela, o aluno apresenta seu problema diante da condição de criar para si sua própria ferramenta para resolução do mesmo.

Baseadas em uma série de idéias:

      • ação – “é através da ação que se aprende”

      • desequilíbrio – “a transição entre duas etapas de conhecimento se dá pela passagem por uma fase de desequilíbrio”

      • representação espontânea – “o aluno sempre inicia uma certa aprendizagem com uma certa bagagem de representações”

      • conflito sócio-cognitivo – “Aprender a passar de uma antiga concepção para uma concepção nova”

Essa teoria consiste em colocar um obstáculo diante do aluno para que se possa causar um desequilíbrio entre sua antiga concepção e a nova. Com isso, o aluno é impulsionado (por si só) a transpor esse obstáculo (ação).


Erisvaldo Ferreira Silva

Estudo dirigido: Conhecendo o nosso calendário

postado em 29 de nov de 2011 08:40 por Erisvaldo Ferreira Silva   [ 18 de ago de 2012 19:48 atualizado‎(s)‎ ]

CONHECENDO O NOSSO CALENDÁRIO

CAMILA CRISTINA BARROSO RODRIGUES, ERISVALDO FERREIRA SILVA, LAURA KARINNE RODRIGUES MOREIRA, LÍCIA OLIVEIRA, LORENA RODRIGUES ARAÚJO


O calendário que se conhece hoje não teve sempre essa configuração. As formas mais antigas de calendário vão desde configurações de 10 meses de 36 dias (360 dias), 12 meses de 30 (360 dias), dentre outros. E se estende até os dias atuais com o ano variando entre 365 e 366 dias e meses de 28, 29, 30 ou 31 dias.

Nesse modelo, está apresentada uma proposta sobre conhecimento do calendário, particularmente às definições de ano comum e ano bissexto, a variação das quantidades de dias de cada mês e de cada ano, os dias da semana, etc. Pode ser adaptado e aplicado desde as séries iniciais até o ensino superior. Aqui serão enfocadas algumas definições matemáticas como as de número par ou ímpar, resto, divisibilidade e divisões inteiras.


CAPÍTULO 1: O CALENDÁRIO


  1. Introdução


Quantos dias têm uma semana, e um mês, e um ano? No comércio, principalmente, acostumou-se a definir ao mês 30 dias e ao ano 360 dias. Tendo então, o calendário comercial, 12 meses de 30 dias.

O calendário real ou calendário gregoriano é um complexo esquema de conjuntos onde os meses possuem quantidades diferentes de dias, assim como os anos. Dificultando dessa forma cálculos com datas.

O professor pode, a critério, oferecer maiores informações ou incentivar pesquisas em grupo sobre o calendário comercial (dias úteis, feriados, dias compensados, etc).

É importante e imprescindível que o professor, antes de trabalhar esse modelo, já o tenha lido e estudado por completo.


  1. O Ano


Um ano pode ser comum ou bissexto. Ano comum é aquele que possui 365 dias. O ano bissexto possui 366 dias, um dia a mais que o ano comum.

Para se saber se um ano qualquer é comum ou bissexto devemos seguir algumas “regras”1.

Escolha um ano de quatro algarismos e responda às seguintes perguntas: O ano escolhido é divisível por 4? E por 100? E por 400? As respostas devem ser SIM ou NÃO. Vamos anotar o ano e as respostas em uma tabela como a que se segue.


Ano escolhido:



PERGUNTA

RESPOSTA

É divisível por 4?


É divisível por 100?


É divisível por 400?



Quantos SIM:



Se tivermos um número par de respostas SIM (0 ou 2) então o ano será comum. Se tivermos um número ímpar de respostas SIM (1 ou 3) então o ano será bissexto.

O fato de o ano ser comum ou bissexto em relação à paridade do número de respostas SIM na tabela deve ser deduzido (pelos próprios alunos e com a ajuda do professor) com base no item 2 do capítulo 2 ou de outra forma que vier a surgir dentre os alunos o do professor. O que não deve acontecer é a exposição dos alunos às “regras” já prontas.


Vejamos alguns exemplos.


Ano escolhido:

1997


PERGUNTA

RESPOSTA

É divisível por 4?

Não

É divisível por 100?

Não

É divisível por 400?

Não


Quantos SIM:

0


O ano 1997 é comum, pois possui um número par de respostas SIM.


Ano escolhido:

1900


PERGUNTA

RESPOSTA

É divisível por 4?

SIM

É divisível por 100?

SIM

É divisível por 400?

Não


Quantos SIM:

2


O ano 1900 também é comum, pois também possui um número par de respostas SIM.


Ano escolhido:

2004


PERGUNTA

RESPOSTA

É divisível por 4?

SIM

É divisível por 100?

Não

É divisível por 400?

Não


Quantos SIM:

1


O ano 2004 é bissexto, pois possui um número ímpar de respostas SIM.


Ano escolhido:

2000


PERGUNTA

RESPOSTA

É divisível por 4?

SIM

É divisível por 100?

SIM

É divisível por 400?

SIM


Quantos SIM:

3


O ano 2000 também é bissexto, pois também possui um número ímpar de respostas SIM.

Observe que é oportuno, nesse momento, que o professor esteja pronto para tirar dúvidas sobre tabelas (linhas e colunas), divisibilidade (divisão com resto ou sem resto). Além de poder dar ao seu aluno uma pequena introdução sobre valores lógicos ou binários (SIM ou NÃO).

O uso de cartolinas pode ser muito útil na representação das tabelas. Grupos de discussão promovem a curiosidade dos alunos.

3) Os Meses


Um ano possui 12 meses e cada mês pode possuir, com exceção de Fevereiro, 30 ou 31 dias. Os meses são representados por números que vão de 1 (janeiro) a 12 (dezembro).

Para sabermos que mês possui 30 ou 31 dias devemos seguir algumas “regras”.

Escolha um mês (exceto Fevereiro) e responda às seguintes perguntas: O mês escolhido é par? É maior que 7? As respostas devem ser apenas SIM ou NÃO. Vamos anotar o mês e as respostas numa tabela como a que se segue.


Mês escolhido:



PERGUNTA

RESPOSTA

É par?


É maior que 7?



Quantos SIM:



Se tivermos um número par de respostas SIM (0 ou 2) então o mês terá 31 dias. Se tivermos um número ímpar de respostas SIM, (ou seja, 1) então o mês terá 30 dias. Vejamos alguns exemplos.


Mês escolhido:

Março ( 3 )


PERGUNTA

RESPOSTA

É par?

Não

É maior que 7?

Não


Quantos SIM:

0

Mês escolhido:

Outubro ( 10 )


PERGUNTA

RESPOSTA

É par?

SIM

É maior que 7?

SIM


Quantos SIM:

2


Os meses Março e Outubro possuem 31 dias, pois possuem um número par de respostas SIM2.


Mês escolhido:

Abril ( 4 )


PERGUNTA

RESPOSTA

É par?

SIM

É maior que 7?

Não


Quantos SIM:

1



Mês escolhido:

Novembro ( 11 )


PERGUNTA

RESPOSTA

É par?

Não

É maior que 7?

SIM


Quantos SIM:

1


Os meses Abril e Novembro possuem 30 dias, pois possuem um número ímpar de respostas SIM.

O professor poderá pedir para que os alunos façam uma pesquisa a respeito dos nomes dos meses. Eles poderão descobrir, por exemplo, que os meses, a princípio, eram 10: Março (primeiro mês), Abril (segundo mês), Maio (terceiro mês), Junho (quarto mês), Julho (quinto mês), Agosto (sexto mês) – todos esses nomes em homenagem a grandes personalidades da história – Setembro (sétimo mês), Outubro (oitavo mês), Novembro (nono mês) e Dezembro (décimo mês) – esses últimos ainda em sua forma genérica com o prefixo indicando a sua posição antiga no calendário (SETembro, OUTubro, NOVembro, DEZembro) mas que, apesar de ainda manterem esses nomes, já não condizem com a realidade, pois fora acrescentado Janeiro e Fevereiro antes dos mesmos.

Será interessante também que o professor construa, junto aos seus alunos, os conceitos de número par e de número ímpar.

Essas “regras” podem ser seguidas para qualquer mês, exceto Fevereiro. Para este, deve-se utilizar as regras do item anterior (O Ano): Basta descobrir se o ano é comum ou bissexto. Se o ano for comum, então Fevereiro terá 28 dias. Se o ano for bissexto, então Fevereiro terá 29 dias. Daí a explicação de o ano bissexto ter um dia a mais que o ano comum. E isso não pode passar despercebido pelo professor e, principalmente pelos alunos.

Uma boa forma de se lembrar das quantidades de dias de cada mês é através dos dedos. De mão fechada, em forma de punho, olhando as “costas” de uma das mãos, conte, da esquerda para a direita, o número de picos (formados pela elevação dos dedos) e de vales (formados entre os picos) de acordo o número que representa o mês continuando a contagem do primeiro pico novamente se precisar. Serão então contados da seguinte forma: janeiro, fevereiro, março, ... = pico, vale, pico, vale, pico, vale, pico, pico, vale, pico, vale, pico (pico = 31 dias e vale = 30 dias, exceto Fevereiro).


  1. A Semana

Uma semana possui 7 dias, a saber, Domingo, Segunda-Feira, Terça-Feira, Quarta-Feira, Quinta-Feira, Sexta-Feira e Sábado. Como a semana é um padrão de 7 dias podemos descobrir se dois dias de um mesmo mês “caem” num mesmo dia da semana ou não calculando-se os restos das divisões desses dias por 7. Se os restos forem iguais, os dias “cairão” no mesmo dia da semana, se não, “cairão” em dias da semana diferentes.

Seja, então, dia 9 de um mês qualquer terça-feira e dia 23 um outro dia do mesmo mês. Dividindo-se 9 por 7 obtém-se resto 2. Dividindo-se 23 por 7 obtém-se também resto 2. Se os restos são iguais, então os dias 9 e 23 de um mesmo mês “cairão” no mesmo dia da semana, ou seja, dia 23 “cairá” também numa terça-feira.

Seja, agora, dia 11 de um determinado mês quinta-feira. E dia 27 um outro dia do mesmo mês. Dividindo-se 11 por 7 obtém-se resto 4. Dividindo-se 27 por 7 obtém-se, no entanto, resto 6. Se os restos são diferentes, então os dias 11 e 27 de um mesmo mês nunca “cairão” no mesmo dia da semana.

Esse método (método do resto) permite fazer diversos tipos de cálculos, não só com dias do mesmo mês, mas também com datas distintas (dia/mês/ano). Mas esse modelo se conterá apenas em dar uma pequena introdução e gerar um mínimo de curiosidade quanto a esses cálculos. Para mais, no entanto, um maior aprofundamento faz-se necessário e poderá ser abordado em um outro modelo.

Caberá, então, ao professor um maior aprofundamento sobre esse último tópico (desse capítulo).

Poderá o professor, utilizar-se, a critério do mesmo, das atividades descritas no capítulo 3 para melhor compreensão desse e dos demais assuntos até aqui abordados;

CAPÍTULO 2: EXPLICANDO-SE AS “REGRAS”


  1. Introdução


É importante que o professor tome cuidado ao pronunciar certas palavras a um aluno. A palavra “regra” , por exemplo, pode parecer uma forma de imposição e dar a idéia de que o aluno não precisa saber o porque da mesma.

De posse de bom conhecimento, curiosidade e com uma boa dose de criatividade (mesmo que instigado pelo professor) qualquer aluno consegue, além de entender, criar suas próprias regras.

Supervisionado, o aluno se sentirá mais a vontade quando o professor apenas lhe responder (ou ensinar) o que ele realmente quer saber, quebrando assim o paradigma do professor que responde o que não se pergunta. Mas fazendo intervenções se necessárias.


  1. O Ano


Há muito tempo o nosso calendário vem sofrendo modificações, principalmente no que diz respeito ao número de dias.


O Primeiro Erro


Após a configuração dos 365 dias do ano, cientistas e pesquisadores descobriram uma pequena perda de ¼ de dia por ano. Sendo obrigado a acrescentarem 1 dia a cada quatro anos para concertar tal erro, surgindo assim o ano bissexto.

Pega-se, então, a princípio, todos os anos. Como o acréscimo de 1 dia se dá a cada 4 anos (especificadamente nos anos múltiplos de 4), então os anos divisíveis por quatro são os anos bissextos e os não divisíveis por quatro são os anos comuns.

Daí a primeira pergunta: O ano é divisível por quatro? Se a resposta for NÃO, o ano é comum e encerra-se por aqui. Se for SIM, verifica-se com outra pergunta de acordo o segundo erro.


O Segundo Erro


O acréscimo de 1 dia a cada 4 anos resultou em um outro erro. Estava sobrando 1/100 de dia a cada ano obrigando o decréscimo de 1 dia a cada 100 anos, fazendo assim com que todos os anos divisíveis por 100 deixassem de ser bissextos e tornassem comuns.

E daí, então, a segunda pergunta: O ano é divisível por 100? Se a resposta for NÃO, o ano é bissexto e se encerra por aqui. Se a resposta for SIM, verifica-se com outra pergunta de acordo o terceiro erro.


O Terceiro Erro


Ainda assim, o decréscimo de 1 dia a cada 100 anos resultou em um terceiro erro. Estava agora sobrando 1/400 de dia por ano, mais uma vez, obrigando uma nova correção. Tiveram então que acrescentar 1 dia a cada 400 anos para tal. Tornado-se assim bissextos todos os anos divisíveis por 400.

É daí, então, a terceira e, atualmente, última pergunta: O ano é divisível por 400? Se a resposta for NÃO então o ano é comum. Se a resposta for SIM, então o ano é bissexto. Encerrando-se por aqui seja SIM, seja NÃO a resposta.

Essa seqüência de erros históricos, que não se deu em um só momento, fez com que a definição de ano bissexto se tornasse um pouco complexa se não analisada de forma correta. A criação de um esquema pode facilitar esse entendimento.

Esquema

Podemos criar, com base nos três erros, conforme as respectivas perguntas, um esquema para descobrir se um ano é comum ou bissexto.


1ª Pergunta: O ano é divisível por 4?


Possíveis respostas:


NÃO Então o ano é COMUM

SIM Responda à 2ª pergunta


2ª Pergunta: O ano é divisível por 100?


Possíveis respostas:


NÃO Então o ano é BISSEXTO

SIM Responda à 3ª pergunta


3ª Pergunta: O ano é divisível por 400?


Possíveis respostas:


NÃO Então o ano é COMUM

SIM Então o ano é BISSEXTO


Agora, a partir do esquema montado acima, tudo parece facilitar a definição de ano comum e ano bissexto. Mas podemos simplificar esse modelo transformando o esquema acima em uma tabela de cálculos. Com a tabela, basta respondermos às perguntas (SIM ou NÃO) para obtermos a resposta desejada.

Tabela


Ano escolhido:



PERGUNTA

RESPOSTA

É divisível por 4?


É divisível por 100?


É divisível por 400?



Quantos SIM:


Observe, através do esquema ao lado, que, para que o ano seja comum é preciso que se obtenha NÃO na primeira pergunta (e sendo assim, se o ano não é divisível por 4 também não será divisível por 100 nem por 400, resultando NÃO nas três perguntas, ou SIM em zero perguntas) ou, ainda, que se obtenha SIM na primeira e na segunda e NÃO na terceira pergunta (resultando SIM em 2 perguntas)

Da mesma forma, para que o ano seja bissexto, é preciso termos SIM na 1ª pergunta e NÃO na segunda (o que implica NÃO na terceira, resultando SIM em 1 pergunta) ou, ainda, que se obtenha SIM nas 3 perguntas.

Comparando os resultados acima (número de respostas SIM) pode-se notar que, quando em número par (0 SIM ou 2 SIM) o ano será sempre comum, e quando ímpar (1 SIM ou 3 SIM) o ano será bissexto.

A construção dessa tabela não cabe ao professor e nem cabe a ele a simples exposição da mesma aos alunos. Mas sim, cabe aos alunos, devidamente orientado pelo seu professor, a composição da mesma. A utilização de organogramas ajuda os alunos a terem uma melhor visão da arquitetura da tabela a ser construída. Mas caberá aí ao professor a introdução aos elementos de um organograma.

  1. Os Meses


Mês escolhido:



PERGUNTA

RESPOSTA

É par?


É maior que 7?



Quantos SIM:



O nosso calendário é composto por doze meses. São 4 meses de 30 dias (Abril, Junho, Setembro e Novembro), 7 meses de 31 dias (Janeiro, Março, Maio, Julho, Agosto, Outubro e Dezembro) e Fevereiro (28 dias em um ano comum ou 29 dias em um ano bissexto).

Organizando esses dados em uma tabela, nota-se um padrão na quantidade de dias de cada mês. Uma seqüência do tipo 31, 30 (fora Fevereiro) até o mês 7 que se reinicia no mês 8.


Mês

Nº de dias

1

Janeiro

31

2

Fevereiro

28 ou 29

3

Março

31

4

Abril

30

5

Maio

31

6

Junho

30

7

Julho

31

8

Agosto

31

9

Setembro

30

10

Outubro

31

11

Novembro

30

12

Dezembro

31

Observe que, excetuando-se Fevereiro, de Janeiro (1) a Julho (7), quando o mês é ímpar, o mesmo possui 31 dias e quando par, possui 30. Observe ainda que quando o mês é maior que 7 (outubro a dezembro) essa relação se inverte.

A partir daí pode-se construir a seguinte tabela:


Mês escolhido:



PERGUNTA

RESPOSTA

É par?


É maior que 7?



Quantos SIM:



Portanto, para se ter um mês de 31 dias, é preciso que ele não seja par e nem maior que 7.(resultando em 2 respostas NÃO ou 0 SIM) ou, ainda, que ele seja par maior que 7 (resultando em 2 respostas SIM).

Para se obter um mês de 30 dias, é preciso que ele seja par e que não seja maior que sete ou, ainda, que não seja par e que seja maior que sete (ambos resultando em apenas 1 SIM).

Comparando os resultados acima (quantidade de respostas SIM) pode-se notar que, quando em número par (0 SIM ou 2 SIM) o mês terá sempre 31 dias e quando ímpar (1 SIM) o mês terá 30 dias.

É importante lembrar que a essa “regra” exclui-se o mês Fevereiro. Já que o mesmo não possui 30 nem 31 dias, mas sim 28 ou 29 dias.


A critério exclusivo do professor, a demonstração da construção dessa tabela de meses poderá ser dada como trabalho (em grupo) avaliativo após todos os alunos participarem, em sala de aula, da construção da tabela anterior (a de ano comum e ano bissexto).

  1. A Semana


O cálculo com datas envolve complexos ou não complexos cálculos com números inteiros, algumas frações e funções como resto, combinação e outras.

O fato de esse modelo, para esse tópico, se ater apenas aos conceitos de igualdade e diferença dos restos (se dois dias do mesmo mês “cai” ou não em um mesmo dia da semana) se deve ao fato de que, para mais, é preciso um maior aprofundamento e , talvez, até mesmo um modelo próprio.


A questão de se dizer que dois dias “caem” sempre num mesmo dia da semana quando os restos das divisões desses dias por 7 são iguais pode ser comprovada de modo deduzido ou induzido.


Observe a seguir duas folhas de calendários. As duas folhas representam o mesmo mês. A única diferença é que a segunda folha contém apenas os restos das divisões de cada dia por 7.


DOM

SEG

TER

QUA

QUI

SEX

SÁB



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31




DOM

SEG

TER

QUA

QUI

SEX

SÁB



1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3



Observando, então, as duas folhas de calendário anteriores podemos perceber que, quando os restos das divisões de dois ou mais dias do mesmo mês por 7 são iguais, esses dias “caem” no mesmo dia da semana. E que quando os restos são diferentes, “caem” em dias da semana diferentes, para tanto, basta observar que cada coluna possui resto único e esse não se repete em outra coluna.


CAPÍTULO 3: SUGESTÃO DE ATIVIDADES


As atividades podem ser criadas pelo professor ou sugeridas pelos próprios alunos.O professor pode, também, criar atividades a partir das dúvidas e dificuldades de seus alunos, sem deixar, nunca de procurar, ao máximo, saná-las.


A Internet é, atualmente uma importante fonte de pesquisa, mas deve-se tomar cuidado com materiais de baixa qualidade e veracidade.


O trabalho em grupo, além de ajudar na interação entre alunos, faz com que os mesmos aprendam a criar situações problemas.

A apresentação dos trabalhos do grupo ao restante da turma e a posterior discussão sobre os mesmos é de grande valia para um entendimento global do tema proposto.


Uma pesquisa sobre a história do calendário pode ajudar na compreensão do assunto.


Entrevistas com profissionais da área de meteorologia (calendário do tempo), comercio (calendário comercial), escolas (calendário escolar) dentre outros poderão ajudar na compreensão do porque das diferentes formas de calendário.

1 Regras – É importante que o professor não “assuste” seus alunos com esse termo. Um professor nunca deve dar a seus alunos uma regra pronta, mas sim, trabalhar a construção das mesmas juntamente com eles. Essas “regras” serão mais bem trabalhadas no próximo capítulo.

2 Cabe lembrar a importância do capítulo 2 para entendimento dessas respostas.

Baixe o software de suporte para o trabalho acima.


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Falta Fundamentação Didática no Ensino da Matemática

postado em 29 de nov de 2011 08:05 por Erisvaldo Ferreira Silva

Crítica acerca do texto

Falta Fundamentação Didática no Ensino da Matemática”

Erisvaldo Ferreira Silva - 2007

A pesquisadora argentina Dra. Patrícia Sadovsky sugere o fim do professor polivalente enquanto o mundo moderno abraça a interdisciplinaridade, defende um espaço de reflexão para os professores enquanto estes mal têm tempo para dar aulas, diz não se tratar de discussão sobre inovação, mas sabe que para alcançar as suas metas é preciso mudanças.

A Dra. Foi feliz em sua entrevista a colunista Roberta Bencini da revista Nova Escola (in: Fala, Mestre! – Jan/Fev 2007) quando expõe o seu ponto de vista, e de sua pesquisa, quanto ao ensino de Matemática na Argentina, no Brasil e no mundo. Tendo real percepção dos problemas ora enfrentados pelos alunos desta matéria.

Dra. Patrícia encara a Matemática, sob a ótica de alunos e professores e sob a ótica de sua especialidade como Doutora em Didática da Matemática, como uma matéria que não está sendo aprendida (ou ensinada) por completo nas escolas de todo o planeta. Quando afirma que as calculadoras já efetuam cálculos e que o mundo já exige mais que isso, dá a entender que a necessidade de aprendizado do “fazer cálculos” já não se faz tão necessária quanto ao aprofundamento matemático da álgebra e da geometria.

É de se esperar realmente mais que cálculos no mundo de hoje. É preciso programar e aprender a programar aulas com jogos e brincadeiras e simulações que, de acordo a própria Doutora, devem ser tidos apenas como ponta-pé inicial em uma seqüência de aprendizagem onde o restante do processo deve ser passado pelo professor através de aulas “interessantes”.

Quando ela diz que “Fundamental é ter um compromisso de aprendizagem com o aluno” deixa portas abertas a diferentes metodologias por parte do professor. Mas deixa bem claro uma linha de didática a ser seguida, caso o professor opte pela resposta da sua pesquisa.

Ora certa, ora não, o que realmente conta para o bem-estar dos alunos desta incrível matéria, para o avanço da mesma e para uma melhor didática seria o ato de se por em prática ao menos algum destes métodos tão estudados, e que, aos montes são pesquisados, projetados e discutidos, que não passam de teoria.

O teorema das quatro cores

postado em 20 de out de 2011 13:04 por Erisvaldo Ferreira Silva

"Dado um mapa plano qualquer,
dividido em regiões,
quatro cores são suficientes para pintá-lo
de forma que as regiões vizinhas tenham cores deferentes."

Em 1976 Kenneth Appel e Wolfgang Haken demonstrou pela primeira vez a validade do teorema acima enunciado. Para tal, foi utilizado um computador. Até hoje não foram encontradas demonstrações algébricas para tal problema.

Anos dos Séculos

postado em 20 de out de 2011 06:42 por Erisvaldo Ferreira Silva

Para saber a que século pertence um determinado ano:

Divida o ano por 100 e arredonde para mais.

Exemplos:

1979 --> 19,79 --> 20
2011 --> 20,11 --> 20
2000 --> 20,00 --> 20

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