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Estudo dirigido: Conhecendo o nosso calendário

postado em 29 de nov de 2011 08:40 por Erisvaldo Ferreira Silva   [ 18 de ago de 2012 19:48 atualizado‎(s)‎ ]

CONHECENDO O NOSSO CALENDÁRIO

CAMILA CRISTINA BARROSO RODRIGUES, ERISVALDO FERREIRA SILVA, LAURA KARINNE RODRIGUES MOREIRA, LÍCIA OLIVEIRA, LORENA RODRIGUES ARAÚJO


O calendário que se conhece hoje não teve sempre essa configuração. As formas mais antigas de calendário vão desde configurações de 10 meses de 36 dias (360 dias), 12 meses de 30 (360 dias), dentre outros. E se estende até os dias atuais com o ano variando entre 365 e 366 dias e meses de 28, 29, 30 ou 31 dias.

Nesse modelo, está apresentada uma proposta sobre conhecimento do calendário, particularmente às definições de ano comum e ano bissexto, a variação das quantidades de dias de cada mês e de cada ano, os dias da semana, etc. Pode ser adaptado e aplicado desde as séries iniciais até o ensino superior. Aqui serão enfocadas algumas definições matemáticas como as de número par ou ímpar, resto, divisibilidade e divisões inteiras.


CAPÍTULO 1: O CALENDÁRIO


  1. Introdução


Quantos dias têm uma semana, e um mês, e um ano? No comércio, principalmente, acostumou-se a definir ao mês 30 dias e ao ano 360 dias. Tendo então, o calendário comercial, 12 meses de 30 dias.

O calendário real ou calendário gregoriano é um complexo esquema de conjuntos onde os meses possuem quantidades diferentes de dias, assim como os anos. Dificultando dessa forma cálculos com datas.

O professor pode, a critério, oferecer maiores informações ou incentivar pesquisas em grupo sobre o calendário comercial (dias úteis, feriados, dias compensados, etc).

É importante e imprescindível que o professor, antes de trabalhar esse modelo, já o tenha lido e estudado por completo.


  1. O Ano


Um ano pode ser comum ou bissexto. Ano comum é aquele que possui 365 dias. O ano bissexto possui 366 dias, um dia a mais que o ano comum.

Para se saber se um ano qualquer é comum ou bissexto devemos seguir algumas “regras”1.

Escolha um ano de quatro algarismos e responda às seguintes perguntas: O ano escolhido é divisível por 4? E por 100? E por 400? As respostas devem ser SIM ou NÃO. Vamos anotar o ano e as respostas em uma tabela como a que se segue.


Ano escolhido:



PERGUNTA

RESPOSTA

É divisível por 4?


É divisível por 100?


É divisível por 400?



Quantos SIM:



Se tivermos um número par de respostas SIM (0 ou 2) então o ano será comum. Se tivermos um número ímpar de respostas SIM (1 ou 3) então o ano será bissexto.

O fato de o ano ser comum ou bissexto em relação à paridade do número de respostas SIM na tabela deve ser deduzido (pelos próprios alunos e com a ajuda do professor) com base no item 2 do capítulo 2 ou de outra forma que vier a surgir dentre os alunos o do professor. O que não deve acontecer é a exposição dos alunos às “regras” já prontas.


Vejamos alguns exemplos.


Ano escolhido:

1997


PERGUNTA

RESPOSTA

É divisível por 4?

Não

É divisível por 100?

Não

É divisível por 400?

Não


Quantos SIM:

0


O ano 1997 é comum, pois possui um número par de respostas SIM.


Ano escolhido:

1900


PERGUNTA

RESPOSTA

É divisível por 4?

SIM

É divisível por 100?

SIM

É divisível por 400?

Não


Quantos SIM:

2


O ano 1900 também é comum, pois também possui um número par de respostas SIM.


Ano escolhido:

2004


PERGUNTA

RESPOSTA

É divisível por 4?

SIM

É divisível por 100?

Não

É divisível por 400?

Não


Quantos SIM:

1


O ano 2004 é bissexto, pois possui um número ímpar de respostas SIM.


Ano escolhido:

2000


PERGUNTA

RESPOSTA

É divisível por 4?

SIM

É divisível por 100?

SIM

É divisível por 400?

SIM


Quantos SIM:

3


O ano 2000 também é bissexto, pois também possui um número ímpar de respostas SIM.

Observe que é oportuno, nesse momento, que o professor esteja pronto para tirar dúvidas sobre tabelas (linhas e colunas), divisibilidade (divisão com resto ou sem resto). Além de poder dar ao seu aluno uma pequena introdução sobre valores lógicos ou binários (SIM ou NÃO).

O uso de cartolinas pode ser muito útil na representação das tabelas. Grupos de discussão promovem a curiosidade dos alunos.

3) Os Meses


Um ano possui 12 meses e cada mês pode possuir, com exceção de Fevereiro, 30 ou 31 dias. Os meses são representados por números que vão de 1 (janeiro) a 12 (dezembro).

Para sabermos que mês possui 30 ou 31 dias devemos seguir algumas “regras”.

Escolha um mês (exceto Fevereiro) e responda às seguintes perguntas: O mês escolhido é par? É maior que 7? As respostas devem ser apenas SIM ou NÃO. Vamos anotar o mês e as respostas numa tabela como a que se segue.


Mês escolhido:



PERGUNTA

RESPOSTA

É par?


É maior que 7?



Quantos SIM:



Se tivermos um número par de respostas SIM (0 ou 2) então o mês terá 31 dias. Se tivermos um número ímpar de respostas SIM, (ou seja, 1) então o mês terá 30 dias. Vejamos alguns exemplos.


Mês escolhido:

Março ( 3 )


PERGUNTA

RESPOSTA

É par?

Não

É maior que 7?

Não


Quantos SIM:

0

Mês escolhido:

Outubro ( 10 )


PERGUNTA

RESPOSTA

É par?

SIM

É maior que 7?

SIM


Quantos SIM:

2


Os meses Março e Outubro possuem 31 dias, pois possuem um número par de respostas SIM2.


Mês escolhido:

Abril ( 4 )


PERGUNTA

RESPOSTA

É par?

SIM

É maior que 7?

Não


Quantos SIM:

1



Mês escolhido:

Novembro ( 11 )


PERGUNTA

RESPOSTA

É par?

Não

É maior que 7?

SIM


Quantos SIM:

1


Os meses Abril e Novembro possuem 30 dias, pois possuem um número ímpar de respostas SIM.

O professor poderá pedir para que os alunos façam uma pesquisa a respeito dos nomes dos meses. Eles poderão descobrir, por exemplo, que os meses, a princípio, eram 10: Março (primeiro mês), Abril (segundo mês), Maio (terceiro mês), Junho (quarto mês), Julho (quinto mês), Agosto (sexto mês) – todos esses nomes em homenagem a grandes personalidades da história – Setembro (sétimo mês), Outubro (oitavo mês), Novembro (nono mês) e Dezembro (décimo mês) – esses últimos ainda em sua forma genérica com o prefixo indicando a sua posição antiga no calendário (SETembro, OUTubro, NOVembro, DEZembro) mas que, apesar de ainda manterem esses nomes, já não condizem com a realidade, pois fora acrescentado Janeiro e Fevereiro antes dos mesmos.

Será interessante também que o professor construa, junto aos seus alunos, os conceitos de número par e de número ímpar.

Essas “regras” podem ser seguidas para qualquer mês, exceto Fevereiro. Para este, deve-se utilizar as regras do item anterior (O Ano): Basta descobrir se o ano é comum ou bissexto. Se o ano for comum, então Fevereiro terá 28 dias. Se o ano for bissexto, então Fevereiro terá 29 dias. Daí a explicação de o ano bissexto ter um dia a mais que o ano comum. E isso não pode passar despercebido pelo professor e, principalmente pelos alunos.

Uma boa forma de se lembrar das quantidades de dias de cada mês é através dos dedos. De mão fechada, em forma de punho, olhando as “costas” de uma das mãos, conte, da esquerda para a direita, o número de picos (formados pela elevação dos dedos) e de vales (formados entre os picos) de acordo o número que representa o mês continuando a contagem do primeiro pico novamente se precisar. Serão então contados da seguinte forma: janeiro, fevereiro, março, ... = pico, vale, pico, vale, pico, vale, pico, pico, vale, pico, vale, pico (pico = 31 dias e vale = 30 dias, exceto Fevereiro).


  1. A Semana

Uma semana possui 7 dias, a saber, Domingo, Segunda-Feira, Terça-Feira, Quarta-Feira, Quinta-Feira, Sexta-Feira e Sábado. Como a semana é um padrão de 7 dias podemos descobrir se dois dias de um mesmo mês “caem” num mesmo dia da semana ou não calculando-se os restos das divisões desses dias por 7. Se os restos forem iguais, os dias “cairão” no mesmo dia da semana, se não, “cairão” em dias da semana diferentes.

Seja, então, dia 9 de um mês qualquer terça-feira e dia 23 um outro dia do mesmo mês. Dividindo-se 9 por 7 obtém-se resto 2. Dividindo-se 23 por 7 obtém-se também resto 2. Se os restos são iguais, então os dias 9 e 23 de um mesmo mês “cairão” no mesmo dia da semana, ou seja, dia 23 “cairá” também numa terça-feira.

Seja, agora, dia 11 de um determinado mês quinta-feira. E dia 27 um outro dia do mesmo mês. Dividindo-se 11 por 7 obtém-se resto 4. Dividindo-se 27 por 7 obtém-se, no entanto, resto 6. Se os restos são diferentes, então os dias 11 e 27 de um mesmo mês nunca “cairão” no mesmo dia da semana.

Esse método (método do resto) permite fazer diversos tipos de cálculos, não só com dias do mesmo mês, mas também com datas distintas (dia/mês/ano). Mas esse modelo se conterá apenas em dar uma pequena introdução e gerar um mínimo de curiosidade quanto a esses cálculos. Para mais, no entanto, um maior aprofundamento faz-se necessário e poderá ser abordado em um outro modelo.

Caberá, então, ao professor um maior aprofundamento sobre esse último tópico (desse capítulo).

Poderá o professor, utilizar-se, a critério do mesmo, das atividades descritas no capítulo 3 para melhor compreensão desse e dos demais assuntos até aqui abordados;

CAPÍTULO 2: EXPLICANDO-SE AS “REGRAS”


  1. Introdução


É importante que o professor tome cuidado ao pronunciar certas palavras a um aluno. A palavra “regra” , por exemplo, pode parecer uma forma de imposição e dar a idéia de que o aluno não precisa saber o porque da mesma.

De posse de bom conhecimento, curiosidade e com uma boa dose de criatividade (mesmo que instigado pelo professor) qualquer aluno consegue, além de entender, criar suas próprias regras.

Supervisionado, o aluno se sentirá mais a vontade quando o professor apenas lhe responder (ou ensinar) o que ele realmente quer saber, quebrando assim o paradigma do professor que responde o que não se pergunta. Mas fazendo intervenções se necessárias.


  1. O Ano


Há muito tempo o nosso calendário vem sofrendo modificações, principalmente no que diz respeito ao número de dias.


O Primeiro Erro


Após a configuração dos 365 dias do ano, cientistas e pesquisadores descobriram uma pequena perda de ¼ de dia por ano. Sendo obrigado a acrescentarem 1 dia a cada quatro anos para concertar tal erro, surgindo assim o ano bissexto.

Pega-se, então, a princípio, todos os anos. Como o acréscimo de 1 dia se dá a cada 4 anos (especificadamente nos anos múltiplos de 4), então os anos divisíveis por quatro são os anos bissextos e os não divisíveis por quatro são os anos comuns.

Daí a primeira pergunta: O ano é divisível por quatro? Se a resposta for NÃO, o ano é comum e encerra-se por aqui. Se for SIM, verifica-se com outra pergunta de acordo o segundo erro.


O Segundo Erro


O acréscimo de 1 dia a cada 4 anos resultou em um outro erro. Estava sobrando 1/100 de dia a cada ano obrigando o decréscimo de 1 dia a cada 100 anos, fazendo assim com que todos os anos divisíveis por 100 deixassem de ser bissextos e tornassem comuns.

E daí, então, a segunda pergunta: O ano é divisível por 100? Se a resposta for NÃO, o ano é bissexto e se encerra por aqui. Se a resposta for SIM, verifica-se com outra pergunta de acordo o terceiro erro.


O Terceiro Erro


Ainda assim, o decréscimo de 1 dia a cada 100 anos resultou em um terceiro erro. Estava agora sobrando 1/400 de dia por ano, mais uma vez, obrigando uma nova correção. Tiveram então que acrescentar 1 dia a cada 400 anos para tal. Tornado-se assim bissextos todos os anos divisíveis por 400.

É daí, então, a terceira e, atualmente, última pergunta: O ano é divisível por 400? Se a resposta for NÃO então o ano é comum. Se a resposta for SIM, então o ano é bissexto. Encerrando-se por aqui seja SIM, seja NÃO a resposta.

Essa seqüência de erros históricos, que não se deu em um só momento, fez com que a definição de ano bissexto se tornasse um pouco complexa se não analisada de forma correta. A criação de um esquema pode facilitar esse entendimento.

Esquema

Podemos criar, com base nos três erros, conforme as respectivas perguntas, um esquema para descobrir se um ano é comum ou bissexto.


1ª Pergunta: O ano é divisível por 4?


Possíveis respostas:


NÃO Então o ano é COMUM

SIM Responda à 2ª pergunta


2ª Pergunta: O ano é divisível por 100?


Possíveis respostas:


NÃO Então o ano é BISSEXTO

SIM Responda à 3ª pergunta


3ª Pergunta: O ano é divisível por 400?


Possíveis respostas:


NÃO Então o ano é COMUM

SIM Então o ano é BISSEXTO


Agora, a partir do esquema montado acima, tudo parece facilitar a definição de ano comum e ano bissexto. Mas podemos simplificar esse modelo transformando o esquema acima em uma tabela de cálculos. Com a tabela, basta respondermos às perguntas (SIM ou NÃO) para obtermos a resposta desejada.

Tabela


Ano escolhido:



PERGUNTA

RESPOSTA

É divisível por 4?


É divisível por 100?


É divisível por 400?



Quantos SIM:


Observe, através do esquema ao lado, que, para que o ano seja comum é preciso que se obtenha NÃO na primeira pergunta (e sendo assim, se o ano não é divisível por 4 também não será divisível por 100 nem por 400, resultando NÃO nas três perguntas, ou SIM em zero perguntas) ou, ainda, que se obtenha SIM na primeira e na segunda e NÃO na terceira pergunta (resultando SIM em 2 perguntas)

Da mesma forma, para que o ano seja bissexto, é preciso termos SIM na 1ª pergunta e NÃO na segunda (o que implica NÃO na terceira, resultando SIM em 1 pergunta) ou, ainda, que se obtenha SIM nas 3 perguntas.

Comparando os resultados acima (número de respostas SIM) pode-se notar que, quando em número par (0 SIM ou 2 SIM) o ano será sempre comum, e quando ímpar (1 SIM ou 3 SIM) o ano será bissexto.

A construção dessa tabela não cabe ao professor e nem cabe a ele a simples exposição da mesma aos alunos. Mas sim, cabe aos alunos, devidamente orientado pelo seu professor, a composição da mesma. A utilização de organogramas ajuda os alunos a terem uma melhor visão da arquitetura da tabela a ser construída. Mas caberá aí ao professor a introdução aos elementos de um organograma.

  1. Os Meses


Mês escolhido:



PERGUNTA

RESPOSTA

É par?


É maior que 7?



Quantos SIM:



O nosso calendário é composto por doze meses. São 4 meses de 30 dias (Abril, Junho, Setembro e Novembro), 7 meses de 31 dias (Janeiro, Março, Maio, Julho, Agosto, Outubro e Dezembro) e Fevereiro (28 dias em um ano comum ou 29 dias em um ano bissexto).

Organizando esses dados em uma tabela, nota-se um padrão na quantidade de dias de cada mês. Uma seqüência do tipo 31, 30 (fora Fevereiro) até o mês 7 que se reinicia no mês 8.


Mês

Nº de dias

1

Janeiro

31

2

Fevereiro

28 ou 29

3

Março

31

4

Abril

30

5

Maio

31

6

Junho

30

7

Julho

31

8

Agosto

31

9

Setembro

30

10

Outubro

31

11

Novembro

30

12

Dezembro

31

Observe que, excetuando-se Fevereiro, de Janeiro (1) a Julho (7), quando o mês é ímpar, o mesmo possui 31 dias e quando par, possui 30. Observe ainda que quando o mês é maior que 7 (outubro a dezembro) essa relação se inverte.

A partir daí pode-se construir a seguinte tabela:


Mês escolhido:



PERGUNTA

RESPOSTA

É par?


É maior que 7?



Quantos SIM:



Portanto, para se ter um mês de 31 dias, é preciso que ele não seja par e nem maior que 7.(resultando em 2 respostas NÃO ou 0 SIM) ou, ainda, que ele seja par maior que 7 (resultando em 2 respostas SIM).

Para se obter um mês de 30 dias, é preciso que ele seja par e que não seja maior que sete ou, ainda, que não seja par e que seja maior que sete (ambos resultando em apenas 1 SIM).

Comparando os resultados acima (quantidade de respostas SIM) pode-se notar que, quando em número par (0 SIM ou 2 SIM) o mês terá sempre 31 dias e quando ímpar (1 SIM) o mês terá 30 dias.

É importante lembrar que a essa “regra” exclui-se o mês Fevereiro. Já que o mesmo não possui 30 nem 31 dias, mas sim 28 ou 29 dias.


A critério exclusivo do professor, a demonstração da construção dessa tabela de meses poderá ser dada como trabalho (em grupo) avaliativo após todos os alunos participarem, em sala de aula, da construção da tabela anterior (a de ano comum e ano bissexto).

  1. A Semana


O cálculo com datas envolve complexos ou não complexos cálculos com números inteiros, algumas frações e funções como resto, combinação e outras.

O fato de esse modelo, para esse tópico, se ater apenas aos conceitos de igualdade e diferença dos restos (se dois dias do mesmo mês “cai” ou não em um mesmo dia da semana) se deve ao fato de que, para mais, é preciso um maior aprofundamento e , talvez, até mesmo um modelo próprio.


A questão de se dizer que dois dias “caem” sempre num mesmo dia da semana quando os restos das divisões desses dias por 7 são iguais pode ser comprovada de modo deduzido ou induzido.


Observe a seguir duas folhas de calendários. As duas folhas representam o mesmo mês. A única diferença é que a segunda folha contém apenas os restos das divisões de cada dia por 7.


DOM

SEG

TER

QUA

QUI

SEX

SÁB



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31




DOM

SEG

TER

QUA

QUI

SEX

SÁB



1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3



Observando, então, as duas folhas de calendário anteriores podemos perceber que, quando os restos das divisões de dois ou mais dias do mesmo mês por 7 são iguais, esses dias “caem” no mesmo dia da semana. E que quando os restos são diferentes, “caem” em dias da semana diferentes, para tanto, basta observar que cada coluna possui resto único e esse não se repete em outra coluna.


CAPÍTULO 3: SUGESTÃO DE ATIVIDADES


As atividades podem ser criadas pelo professor ou sugeridas pelos próprios alunos.O professor pode, também, criar atividades a partir das dúvidas e dificuldades de seus alunos, sem deixar, nunca de procurar, ao máximo, saná-las.


A Internet é, atualmente uma importante fonte de pesquisa, mas deve-se tomar cuidado com materiais de baixa qualidade e veracidade.


O trabalho em grupo, além de ajudar na interação entre alunos, faz com que os mesmos aprendam a criar situações problemas.

A apresentação dos trabalhos do grupo ao restante da turma e a posterior discussão sobre os mesmos é de grande valia para um entendimento global do tema proposto.


Uma pesquisa sobre a história do calendário pode ajudar na compreensão do assunto.


Entrevistas com profissionais da área de meteorologia (calendário do tempo), comercio (calendário comercial), escolas (calendário escolar) dentre outros poderão ajudar na compreensão do porque das diferentes formas de calendário.

1 Regras – É importante que o professor não “assuste” seus alunos com esse termo. Um professor nunca deve dar a seus alunos uma regra pronta, mas sim, trabalhar a construção das mesmas juntamente com eles. Essas “regras” serão mais bem trabalhadas no próximo capítulo.

2 Cabe lembrar a importância do capítulo 2 para entendimento dessas respostas.

Baixe o software de suporte para o trabalho acima.


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