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Provar que 2^n-1 é múltiplo de 3 para qualquer n par natural

postado em 6 de mai de 2012 19:49 por Erisvaldo Ferreira Silva   [ 6 de mai de 2012 19:50 atualizado‎(s)‎ ]
PROBLEMA:

Provar que 2^n-1 é múltiplo de 3 para qualquer n par natural.

RESOLUÇÃO:

Seja 2^n-1 múltiplo de 3 para todo n par.
E seja n = 2k para todo k natural.
Então 2^(2k)-1 é também múltiplo de 3.

PROPOSIÇÃO 1:

Para o primeiro número natural k = 0 temos que
2^(2k)-1 = 2^(2.0)-1 = 2^0-1 = 1-1 = 0 (que é múltiplo de 3).
Assim, fica provado que para o primeiro número natural k = 0
é verdade que 2^n-1 é múltiplo de 3.

Suponha que:
Se, para um número natural qualquer, é verdade que: 2^(2p)-1 é múltiplo de 3,
então será verdade para qualquer sucessor p+1 de p,
ou seja, será verdade que 2^(2(p+1))-1 é múltiplo de 3.

Vamos então desenvolver 2^(2(p+1)) - 1
2^(2(p+1)) - 1 = 2^(2p+2) - 1 = 2^(2p) * 2^2 - 1 = 4 * 2^(2p ) - 1

Somando-se - 3 + 3 = 0 à expressão anterior, teremos:
4 * 2^(2p ) - 1 - 3 + 3 =  4*2^(2p) - 4 + 3 =  4*(2^2p-1) + 3

Ora, se 2^(2p)-1 é múltiplo de 3, então existe um inteiro tal que 2^(2p)-1 = 3M.
Assim: 4*(2^2p-1) + 3 = 4*3M + 3 = 3(4M+1)

3(4M+1) é múltiplo de 3.
Então é verdade que, se 2^(2p)-1 é múltiplo de 3 para um determinado número p natural,
então também será múltiplo de 3 para qualquer sucessor (p+1) desse número.

E se é verdade para o primeiro número natural 0, então será verdade para todos os seus sucessores.
Logo,  2^n-1 é múltiplo de 3 para qualquer par natural.

CQD

Erisvaldo Ferreira Silva
erisbaldo@yahoo.com.br
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